Informatics Educational Institutions & Programs

Trong toán học, một trường hữu hạn là một trường chứa một số hữu hạn các phần tử. Ví dụ phổ biến nhất của các trường hữu hạn là các số nguyên mod $p$ với $p$ là số nguyên tố.

Tính chất

Số lượng phần tử của một trường hữu hạn được gọi là cấp hoặc bậc của nó, hoặc đôi khi, kích thước của nó. Trường hữu hạn cấp $q$ tồn tại khi và chỉ khi $q$ là một lũy thừa nguyên tố $p k$ (trong đó $p$ là số nguyên tố và $k$ là số nguyên dương). Trong cấp $p k$ , tổng của $p$ lần bất kỳ phần tử nào luôn có kết quả bằng 0; tức là, đặc số của trường là $p$ .

Nếu $q=p^{k},$ tất cả các trường cấp $q$ là đẳng cấu. Hơn nữa, một trường không thể chứa hai trường con hữu hạn khác nhau có cùng cấp. Do đó, người ta có thể xác định tất cả các trường hữu hạn có cùng cấp và chúng được ký hiệu là $\mathbb {F} _{q}$ , $F q$ hoặc $GF(q)$ .

Tất cả các phần tử của một trường hữu hạn cấp $q$ đều là nghiệm của đa thức $X q - X$ . Các phần tử khác không của một trường hữu hạn tạo thành một nhóm nhân. Nhóm này là xiclic, vì vậy tất cả các phần tử khác không có thể được biểu diễn dưới dạng lũy thừa của một phần tử duy nhất gọi là phần tử nguyên thủy của trường. (Nói chung một trường có nhiều hơn một phần tử nguyên thủy.)

{\rm {GF}}(q)={\rm {GF}}(p)[X]/(P)

Sự tồn tại và tính duy nhất

Đặt $q = p n$ là một lũy thừa nguyên tố và $F$ là trường phân rã của đa thức

P=X^{q}-X

trên trường $GF(p)$ . Thế thì $F$ là một trường hữu hạn có cấp bằng $q$ .

Việc mọi trường cấp $q$ đều đẳng cấu với nhau là hệ quả của tính duy nhất xê xích một đẳng cấu của trường phân rã. Ngoài ra, nếu một trường $F$ có một trường con $K$ với cấp $q' = p k$ thì các phần tử của $K$ là các nghiệm của đa thức $X q' - X$ và $K$ là trường con cấp $q'$ duy nhất của $F$ .

Xây dựng tường minh

Các trường không nguyên tố

Với một lũy thừa nguyên tố $q = p n$ với $p$ số nguyên tố và $n > 1$ , trường $GF(q)$ có thể được xây dựng tường minh như sau. Đầu tiên ta chọn một đa thức bất khả quy $P$ trong $GF(p)[X]$ sao cho bậc của $P$ bằng $n$ (định lý - luôn tồn tại một đa thức như vậy). Thế thì vành thương

{\rm {GF}}(q)={\rm {GF}}(p)[X]/(P).

của vành đa thức $GF(p)[X]$ bởi i-đê-an chính sinh bởi $P$ là một trường cấp $q$ .

Trường bốn phần tử

Trên $GF(2)$ , chỉ có một đa thức bất khả quy bậc $2$ duy nhất:

X^{2}+X+1

Do đó, ta có một đẳng cấu $GF(4)\simeq GF(2)[X]/(X^{2}+X+1)$ .

Nếu ký hiệu $α$ là một nghiệm của đa thức $P$ trong $GF(4)$ , ta có bảng các phép toán trong $GF(4)$ như sau.

Phép cộng

Phép nhân

Phép chia

+	$0$	$1$	$α$	$1 + α$
$0$	$0$	$1$	$α$	$1 + α$
$1$	$1$	$0$	$1 + α$	$α$
$α$	$α$	$1 + α$	$0$	$1$
$1 + α$	$1 + α$	$α$	$1$	$0$

×	$0$	$1$	$α$	$1 + α$
$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
$1$	$0$	$1$	$α$	$1 + α$
$α$	$0$	$α$	$1 + α$	$1$
$1 + α$	$0$	$1 + α$	$1$	$α$

$x / y$	$0$	$1$	$α$	$1 + α$
$0$	$—$	$0$	$0$	$0$
$1$	$—$	$1$	$1 + α$	$α$
$α$	$—$	$α$	$1$	$1 + α$
$1 + α$	$—$	$1 + α$	$α$	$1$

Cấu trúc nhân

Tham khảo

W. H. Bussey (1905) "Galois field tables for pⁿ ≤ 169", Bulletin of the American Mathematical Society 12(1): 22–38, doi:10.1090/S0002-9904-1905-01284-2
W. H. Bussey (1910) "Tables of Galois fields of order < 1000", Bulletin of the American Mathematical Society 16(4): 188–206, doi:10.1090/S0002-9904-1910-01888-7
, ISBN 978-0-486-47189-1 |title= trống hay bị thiếu (trợ giúp)
, ISBN 978-0-8218-4418-2 |title= trống hay bị thiếu (trợ giúp)
, ISBN 978-1-4398-7378-6 |title= trống hay bị thiếu (trợ giúp)
, ISBN 0-521-39231-4 |title= trống hay bị thiếu (trợ giúp)
Skopin, A. I. (2001) [1994], "Galois field", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press

Liên kết ngoài

Finite Fields at Wolfram research.

Lý thuyết Galois
Trường	Trường hữu hạn Trường hoàn hảo Trường vỡ Trường phân rã
Mở rộng trường	Mở rộng đại số Trường bậc hai Mở rộng đơn Mở rộng chuẩn tắc Mở rộng tách được Mở rộng Galois Nhóm Galois Nhóm Galois tuyệt đối Bao đóng đại số Trường hàm đại số Mở rộng không tách Trường hàm đại số Tháp trường
Liên quan	Lý thuyết nhóm Đặc trưng đại số Vành đa thức Đa thức Cyclotomic Lý thuyết Galois Định lý cơ bản của lý thuyết Galois Định lý phần tử nguyên thủy Lý thuyết Iwasawa Module Galois Đối đồng điều Galois Kết nối Galois Mở rộng Galois Nhóm Galois Hố va chạm